分类: 为什么 常识词典 编辑 : 常识 发布 : 11-24

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怎样学习抽象的数学？本-三，出于兴趣看了几十页群论导论，感觉太抽象，很多习题不会做。请问怎样学习抽象的数学？随便说点心得就行了。4 个答案

答案 1：

受邀。vieplivee推荐了很多具体的教材什么的，我就不推荐了。我是中途转数学的，也是大三开始自学群论。不过我的优势是物理系的数学基础本就不错，另外我有物理图像，群论是对物理很重要的一个科目。抽象，就是独立于经验与物理现实，但是抽象不是说和经验现实没关系。经验现实是抽象概念的来源，人的思维不会凭空造出个东西。因此抽象概念一定能在现实中找对某种程度的实现，这就是数学图像，对于理解是很有用的东西。以群论为例，维基给相关话题使用了魔方的图片，这就是一个很赞的图像。群就是变换，其意义体现在可以作用于其他对象上，就像是你旋转魔方使其状态改变，子群什么的概念就都显而易见了。但是不能停留在图像上，因为抽像概念毕竟是独立于经验现实的，是有一系列公理和性质所定义的。有数学图像不等于理解，只能帮助理解。常有人问怎么想象三维以上的空间，事实上我们没有想象。我们有-空间的数学定义，严格按照定义来推导，有时想想二维三维的情况获得一些启发。这里就是硬工夫了，看能不能静下心，有时还要排除数学图像的干扰。我认为这个能力也是可以培养的，途径就是多看多做举一反三。数学研究中经常说有灵光一现，其实没读大量的文献，没学大量的数学，哪来的灵感。每个数学上的突破都只是在许多其他人的工作上做的微创新，虽然可能数学家本人没有意识到。佩雷尔曼拒绝奖金，因为方法是别人发明的，他用了而已……可谁不是呢。我建议找有答案的教材，先参考着答案做题，然后自己总结方法思路，自己就开始会做了。问题在是否善于总结归纳。不擅长的话，应试教育所用的题海其实是有道理的，逼你习惯各种方法技巧。引用巴拿赫的名言，体现举一反三的境界：A -t-e-tician is a person w-o can find -ogies between t-eorems;a better -t-e-tician is one w-o can see -ogies between proofsand t-e best -t-e-tician can notice -ogies between t-eories.One can i-gine t-at t-e ulti-te -t-e-tician is one w-o can see -ogies between -ogies.

答案 2：

首先，这要看你在数学方面的基础如何。群论是抽象代数的重要部分，也是最精彩的部分。所以我假设你指的是「抽象代数」而非「抽象数学」。因为我喜欢组合数学，所以从这个角度给你一点建议。首先，任何抽象的概念应该结合具体的例子来学习，例子越多越好，最好攒上一堆。后面再说怎样找例子。刚开始学的时候不必花太多时间在定理证明上，反倒可以多花时间看那些定理是如何「应用」在这些例子上的，一个一个扒着检查，如此让定理在脑中「有存在感」（-ke sense）。在群论上，我觉得Polya的「群作用」（group action）[1] 应该能给你提供大量的例子，不仅帮助你群论入门，而且Polya的思想也不止于此，值得将来深入学习研究用。我不知道你能接触到是什么材料，不过那个-应该能提供一些灵感吧。另外，我觉得Mic-ael Artin的Algebra非常适合抽象代数入门之用。这本书的好处是可深可浅，最深的部分当做研究生教材也可以了，而浅的部分浅显易懂，非常好看。英文原文写得优美完备，建议想方设法看英文。如果有了这本书，那对群作用的理解也能达到一个相当的层次了。Polya的理论可以配合一起看。如果你有问题不妨提出。我会在力所能及的范围内，尽可能给予回答。另外，我帮你多邀请了王玉超来回答你的问题。他跟陈浩的数学都比我做得好。[1]en.-.org/wiki...[2]a-zon/Algebra-...

答案 3：

受vieplivee之邀来回答这个问题很有诚惶诚恐的感觉，毕竟自己的代数非常的不乐观，感觉自己还是更多的纠结于分析的方法。关于抽象代数，陳浩和vieplivee二位讲了很多很深刻的东西，我就姑且说一些自己的感受吧。我们本科时候学习的近世代数课程我认为是很失败的，评价起来就是枯燥乏味，晦涩难懂。硕士时候重新学习，用的教材就是vieplivee所提到的Artin的教材。学过之后给我留下的印象就是，近世代数是一门很有趣的课程，具体表现在，它本质上是很抽象的，是在玩概念，而它却又是大量讲述例子的，对例子的理解可以帮助你更深刻的体会那种思想。相比较而言其它课程就不太一样，它们则更多的可以被“感受”到，而并不需要借助很多例子来阐述。我觉得学习近世代数一个很关键的点就是要多多体会例子，以期更好的理解抽象的概念，正如上面vieplivee所建议的那样。很荣幸能够在这里谈一些自己的想法，如果有兴趣，我们可以继续讨论。

答案 4：

我们是组队一起读书的~读的S.Lang的代数，一个人孤军奋战比较困难啊~

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